Números complexos

Resumo: Números complexos

Por que criar novos números?

No conjunto dos números reais, a equação x ao quadrado mais um igual a zero não tem solução, porque nenhum número real elevado ao quadrado dá negativo. Para resolver isso, define-se a unidade imaginária i, com a propriedade de que i ao quadrado é igual a menos um. Assim, x ao quadrado igual a menos um tem as soluções i e menos i, e a raiz de menos nove passa a ser três i. O novo conjunto, dos complexos, contém todos os outros. Historicamente, essas ideias surgiram no século dezesseis, quando matemáticos italianos como Cardano e Bombelli resolviam equações do terceiro grau.

Forma algébrica: z = a + bi

Todo número complexo pode ser escrito na forma algébrica z igual a a mais b i, em que a e b são reais. O a é a parte real e o b é a parte imaginária. Atenção: a parte imaginária é só o número b, sem o i. Em três menos dois i, a parte real é três e a imaginária é menos dois. Se b for zero, o número é real; se a for zero e b diferente de zero, é imaginário puro. O conjugado de z, indicado com uma barra em cima, é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Ele será essencial na divisão.

Pontos principais

• A unidade imaginária i, com i² = −1, amplia os reais para o conjunto ℂ
• Na forma algébrica z = a + bi, opera-se com a distributiva e o conjugado
• As potências de i se repetem em ciclos de 4
• No plano, z tem módulo e argumento; a forma polar facilita potências