Relações métricas no triângulo retângulo

Resumo: Relações métricas no triângulo retângulo

Os elementos do triângulo retângulo

Vamos começar pelos nomes. Um triângulo retângulo tem um ângulo de noventa graus. O lado oposto a esse ângulo é a hipotenusa, que chamo de a, e é sempre o maior lado. Os outros dois lados, que formam o ângulo reto, são os catetos, b e c. Se eu traçar a altura h, saindo do vértice do ângulo reto até a hipotenusa, ela divide a hipotenusa em dois pedaços, m e n, chamados de projeções. Aqui, n é a projeção do cateto b e m é a projeção do cateto c. Somando as duas, temos a hipotenusa.

De onde vêm as relações?

As relações métricas não são fórmulas para decorar sem entender: elas vêm da semelhança de triângulos. Quando traço a altura relativa à hipotenusa, o triângulo grande fica dividido em dois triângulos retângulos menores. Os três triângulos têm os mesmos ângulos, então são semelhantes. Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Montando essas proporções e multiplicando em cruz, chegamos às relações métricas. Por exemplo, comparando o triângulo grande com o menor que contém o cateto b, chegamos a b sobre a igual a n sobre b.

Pontos principais

• A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois semelhantes
• Cada cateto ao quadrado é a hipotenusa vezes a sua projeção
• h² = m · n e a · h = b · c completam as relações principais
• O Teorema de Pitágoras pode ser demonstrado a partir delas